Un temario de Olimpiadas

Hola,

hace unos meses quería hablar sobre el tema pero no tenía mucho tiempo y quería hacer algo completo. Algunos profesores me preguntan si hay un temario de olimpiadas así como lo hay en pre. Pues bien. las olimpiadas internacionales no lo tienen, lo único que se dice es que se consideran todos los temas de matemática de la etapa escolar. Como es obvio esto es muy relativo, pues depende de cada país. Además, en la Olimpiada Internacional de Matemática una norma es que el participante no esté enrolado con una universidad, sin embargo, muchos participantes saben usar muchas técnicas que se hacen recién en la universidad y de hecho no están prohibidas en las olimpiadas.

Por otro lado, para resolver de manera correcta un problema de olimpiadas y nos den todos los puntos, lo más importante no es obtener la respuesta final (si es que la hubiese), sino es la argumentación, desarrollado paso a paso, de cómo se llegó a ella. Por eso lo primero que hay que practicar para ser bueno en las olimpiadas es aprender a demostrar. Esta parte toma buen tiempo, pues en el Perú los colegios y academias no les toman mucha importancia a esto ya que para el examen de admisión lo único que importa es la respuesta final.

Luego, volviendo al tema, ¿hay otros temas en olimpiadas distintos a los que se hacen en los colegios o en las academias? Bueno, la respuesta es que sí, aunque en muchos casos hay temas que simplemente son la refinación de algunos temas de pre.

En la Olimpiada Internacional de Matemática hay cuatro cursos que son considerados: Álgebra, Combinatoria, Geometría y Teoría de números. Álgebra es el álgebra que conocemos pero mucho más teórica, Geometría es la geometría que conocemos pero con otras técnicas que nos ayudan a resolver más rápido los problemas, Teoría de números sería algo así como aritmética pero más serio y Combinatoria sería todo lo que no es ni Álgebra, Geometría ni Teoría de números, en el Perú se podría decir que incluye el curso pre de razonamiento matemático pero con fundamento. Por cierto, hay problemas que son la combinación de varios cursos y son difíciles de clasificar.

El siguiente temario es una modificación del que elaboré con ayuda de Jorge Tipe para la preparación de los alumnos del Taller del IMCA (grupos 1 y 2). No seguimos uno por uno los temas porque son muy pocas clases al mes y los alumnos van cambiando cada semestre, así que tratamos de hacer de manera completa los temas más importantes. Agregamos metodos de demostración como introducción ya que son temas que se ven en todos los cursos, en algunos casos los temas se vuelven a tomar para hacerse a mayor profundidad.

Métodos de Demostración

1. Principio de inducción, inducción fuerte.
2. Principio de contradicción, paridad.
3. Principio de casillas.
4. Principio extremal.
5. Invariantes.

Teoría de Números

1. Divisibilidad.
2. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
3. Números primos y compuestos.
4. Problemas relacionados con dígitos.
5. Congruencias.
6. Sistemas de restos.
7. Teorema de Fermat, Euler y Wilson.
8. Funciones aritméticas.
9. Orden.
10. Ecuaciones diofánticas.
11. Restos cuadráticos.

Geometría

1. Triángulos, polígonos, relaciones métricas, congruencias.
2. proporcionalidad y semejanza.
3. Circunferencias, relaciones métricas, cuadrilátero inscrito y circunscrito.
4. Áreas.
5. Puntos y rectas notables.
6. Lugar geométrico.
7. Construcciones con regla y compás.
8. Colinealidad y concurrencia.
9. Potencia y eje radical.
10. Homotecia.
11. Cuaterna armónica.
12. Inversión geométrica.
13. Desigualdades geométricas, camino mínimo.

Combinatoria

1. Principio de casillas.
2. Invariantes.
3. Conteo, combinaciones, conteo con recurrencia, principio de inclusión-exclusión.
4. Tableros, ensamblamientos, cubrimientos.
5. Juegos y estrategia ganadora.
6. Grafos, grafos planares, grafos dirigidos.
7. Conjuntos, máximos y mínimos.
8. Geometría combinatoria.

Álgebra

1. Identidades algebraicas, productos y cocientes notables.
2. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
3. Números racionales e irracionales.
4. Inducción, sucesión de Fibonacci.
5. Sumatorias y productorias.
6. Sucesiones.
7. Máximo entero y parte fraccionaria.
8. Desigualdades, máximos y mínimos.
9. Números complejos.
10. Polinomios, interpolación, irreductibilidad, ecuaciones polinomiales (tipo funcionales).
11. Ecuaciones funcionales.

Es importante mencionar que este no es un temario universal, es el que yo utilizo para la preparación de alumnos con mira a la olimpiada del Cono Sur y afines. No están contemplados los temas más "fuertes" para una buena preparación para la IMO y olimpiadas del mismo nivel. La mayoría de estos temas se pueden buscar en Internet. El material más vasto está en ingles.

Por otro lado, si bien dije que lo que hacen en los colegios y academias no está enfocado en las olimpiadas, sí es un paso importante para todo alumno, ya que para aprender olimpiadas es importante manejar de manera decente todos los temas pre. La mayoría de olímpicos creo que siguió este camino, primero aprendió (posiblemente muy rápido) todo lo que es pre y de ahí lo que es olimpiadas matemáticas. Por eso aconsejo que si se quiere aprender olimpiadas es bueno aprender primero todo lo que es pre o al menos seguirlo paralelamente.

Los libros que recomiendo que contienen varios de estos temas son

Problem-Solving Strategies de Arthur Engel (en inglés)
Mathematical Circles de Dmitry Fomin, Sergey Genkin y Ilia Itenberg (en inglés)
Les olympiades de mathématiques de Tarik Belhaj Soulami (en francés)

Además, un buen libro, más completo, para el tema de conteo es

A Path to Combinatorics for Undergraduates de Titu Andreescu y Zuming Feng (en inglés)

Ahora algunos artículos que se pueden encontrar en internet

Number Theory de Naoky Sato (Teoría de números en inglés)
Theorie des graphes de Pierre Bornsztein (Teoría de grafos en francés)
Équations fonctionnelles de Pierre Bornsztein y Moubinool Omarjee (Ecuaciones funcionales en francés)

Espero que les haya sido útil esta entrada, será actualizada cada vez que haya algo que modificar o agregar.

Hasta luego y gracias por el interés,

John Cuya.